奇特的分段函数
陈立峰

关键词：分段函数, 极限,可导性, 连续性

我们经常会发现有这样一类函数,它们也是以数学式子表示,但它们在定义域的不同范围具有不同的表达式,这样的函数就是分段函数．在数学和工程技术以及日常生活中都会经常遇到．
比如符号函数sgn x=｛　　
又如绝对值函数　　　
分段函数的表达式每一个都是初等函数,但它们却不尽然都是初等函数．如上述绝对值函数又可写作?为复合函数,仍为初等函数,而符号函数sgn x却不是初等函数．这就决定了分段函数性质上的独特性,不同于一般的初等函数．

一.分段函数的极限
对于初等函数在 ?处的极限一般视两种情况而定：

1. 在点 处有 定义，则采用直接带入求极限的 方法，即．
2. 在该点处无定义,一般尽量消去无意义的因子之后,再采用方法(1)即可.

但是分段函数就有可能出现在分段点左右两侧极限值不相等的情况,我们一般称之为单侧极限．当且仅当f（x）在处的左右极限存在且相等时，该点的极限才存在．
如分段函数｛　　　　　　　　　　　　在分段点处的极限就不存在，因为
　　　　　　　　左右极限虽然存在但不相等，所以此函数在点x＝０处的极限是不存在的．故我们得到结论：有定义是有极限的无关条件，就是因为分段函数这个特例．

二．分段函数的连续性
若函数f（x）满足条件（１）在点处有定义；（２）在该点有极限；（３）在该点的定义值和极限值相等．则称函数f（x）在点处连续．初等函数在定义域内是处处都连续的．因为分段函数一般不是初等函数，它在分段点处的极限需要重新考虑．
如果存在且等于，就说函数f（x）在点处左连续；如果存在且等于，就说函数f（x）在点处右连续．容易证明：函数在点处连续的充分必要条件是函数在该点既左连续又右连续．
例如考查函数　f(x)={　　　　　　　　　　在x＝０处的连续性．
因为f（０）＝１，　　　所以，此函数在点x＝０处只满足左连续而不满足右连续，该点应该是此函数的间断点．还可以说在该点的极限不存在导致了在该点的不连续性．这样看来，函数连续的三个条件是缺一不可的．从而我们得到结论：有定义是连续的必要条件，有极限也是有定义的必要条件．

三．分段函数的可导性
讨论分段函数的可导性，要注意分段点处的可导性的讨论．而分段点处的可导性要根据函数在以分段点为中心的邻域内数学表达式的不同选用不同的方法．
（１）当f（x）＝｛　　　时，讨论在处的可导性要用导数定义，即要考查是否存在，若极限存在，则f（x）在点处可导，且．若极限不存在，则f（x）在处不可导．
（２）当f（x）＝｛　　　　　时，讨论在分段点处的可导性，需要讨论在该点的左右导数，若左导数与右导数都存在，且＝，则f（x）在该点可导．且＝．若与至少有一个不存在或都存在但不相等，在该点就不可导．这里我们就不举例了．从而我们也得到了可导和连续之间的关系：可导一定连续，反之不然，但不连续一定不可导．

以上我们从三个方面讨论了分段函数不同于一般初等函数的一些性质，特别是在分段点处，由于分段点左右两边表达式的不同呈现出性质的差异，这是初学者一定要注意的．只要把握好这一点，任何函数的极限、连续、以及可导问题都可以迎刃而解．